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参考文献

微积分发展史

微积分在数学发展史上可以认为是一个伟大的成就，由于微积分的创立不仅解决了当时的一些重要的科学问题，而且由此产生了数学的一些重要分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等。这个伟大的成就当然首先应该归功于牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)，但是在他们创立微积分之前，微积分问题至少被17世纪十几个大数学家和几十个小数学家探索过，得出了一些有价值的结论，且具有很大启发性。牛顿和莱布尼茨是在前人的基础上将微积分发展到了高峰。 17世纪遇到了哪些问题呢？主要有四类问题。第一类是速度和加速度问题。17世纪遇到的速度和加速度问题大都是变量问题，即变速与变加速。这与17世纪以前所遇到的大量常速问题所不同，如何求速度与加速度成为当时科学家们所关心的问题。第二类是切线问题。17世纪光学是一门重要的学科，例如透镜如何设计，这涉及切线与法线。切线问题在17世纪以前虽也解决过，但只限于圆锥曲线，而切线的定义是只与曲线接触一点的直线，这种情况不能适应17世纪所遇到的复杂的曲线的切线问题，另外物体运动时在它轨迹上的运动方向也涉及切线。第三类是最大值和最小值问题。炮弹的最大射程如何求，行星运行时离开太阳的最远和最近距离如何求，都是17世纪迫切要解决的。第四类是求曲线的长、曲线围成的面积和曲面围成的体积、物体的重心、引力等。这些问题在17世纪之前个别地解决过，但必须有较好的技巧，且方法缺乏一般性。尝试解决这四类问题在牛顿、莱布尼茨之前已经有过不少经验，罗贝瓦尔(Roberval)从炮弹的水平速度与垂直速度构成矩形的对角线出发，认为这条对角线就是炮弹的轨迹切线。牛顿的老师巴罗(Barrow)，也给出了求切线的方法。17世纪开普勒(Kepler)证明了所有内接于球的，具有正方形底的正平行四面体中立方体的容积最大。当越来越接近最大体积时，相应尺寸的变化对体积的变化越来越小(就是我们现在所说的极值处的导数为0)。费马(Fermat)在1629年已经找到与现在求最大值和最小值的方法实质相同的方法。卡瓦列利(Cavalieri)在他老师伽利略(Galileo)和开普勒的影响下，并在他老师的敦促下，考查了微积分，并且获得n为正整数时的积分公式(1639年)

1634年罗贝瓦尔求出了旋轮线 x = R ( t -sin t )， y = R (1-cos t ) 一个拱下的面积。他还求出了正弦曲线一个拱下的面积及它绕底旋转的体积。一些图形的重心也计算出来了。格利哥利(Gregory)在1647年算出了

以上都是一些具体的结果，在原则性的问题上，如微积分的主要特征——积分与微分互逆，也早为人们所遇到。托里拆利(Torricelli)通过特殊的例子看到了变化率问题本质上是面积问题的反问题。费马同样也在特殊的例子中知道了面积与导数的关系。格利哥利1668年证明了切线问题是面积问题的逆问题。巴罗也看到了这种关系，但他们不是没有看到其普遍意义或一般性，就是没引起重视和看到其重要性。17世纪的前三分之二的时间内，微积分的工作被困拢在一些细节问题里，作用不大的细微末节的推理使数学家们精疲力竭了。在微积分的大量知识已经积累起来的时代里，牛顿和莱布尼茨认识到了微分与积分这种互逆关系的重要性及普遍性，建立起成熟的方法，并且提出了前面叙述的几个主要问题之间的内在联系，从而创立了微积分。
但是，不论牛顿还是莱布尼茨，在创立微积分时都并未弄清楚微积分的逻辑基础。他们在论证自己的结论时，前后说法矛盾。牛顿举下面的例子来说明他的“流数”(即导数)的求法。设给定了函数 x 3 - ax 2 + axy - y 3 = 0，　　　　　　　　　　
给时间以无穷小增量，并用 o 表示，相应的 x 、 y 的无穷小增量用

、

乘 o ，即

、

表示。以

及

代 x 、 y 得

由假设 x 3 - ax 2 + axy - y 3=0，消去这些项，全式除以 o ，然后舍去含 o 的项(因为o是无穷小)，便得

从上述推导中，人们不难发现其中存在着逻辑上的矛盾。开始时 o 不能作为零来理解，因为不能用零除全式，以后又作为零把它略去。莱布尼茨在论证时也有类似的问题，因而不能不引起人们对微积分的批评和指责，这些人中最有名的要算主教贝克莱(Berkeley)和尼文太(Nieuwentijdt)。贝克莱是主教，他更多地从宗教的偏见出发批评微积分，他说牛顿的微积分中的无穷小是“已死量的幽灵”，微积分中的“原则、推理与论断不比宗教的教义说得更为清晰”，但他的指责并非无理。辩论进行了相当长的一段时期。到19世纪20年代，即1821年，数学家柯西(Cauchy)在他的《分析教程》以及此后的《无穷小计算讲义》中给出了微积分中一系列基本概念的严格定义，从而澄清了历史上微积分的逻辑基础。但是，在柯西时代，实数理论尚未完备，因而柯西的极限定义尚有不足之处，现在的极限定义是数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass)加工完成的。

数学家介绍