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工科电气类专业

工科非电气类专业

《 应用数学》教学大纲

（适用于工科非电气类专业 ）

编写：张富勤李开友

一、课程的性质、任务

	在现代社会，数学的应用非常广泛，是人们学习、生活、工作的必要基础和工具。《应用数学》是高等职业技术教育各
专业的一门重要的基础课，也是重要的工具课。它为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础知识、数学方法和数学能力。

二、课程的基本要求

通过本课程的学习，使学生在初等数学的基础上学习极限、函数的微分学，函数的积分学、微积分的应用、级数、线性

代数基础、概率统计基础等基本知识和技能。学会、掌握上述各部分的基本方法。注意各部分知识结构及知识的内在联系，较好的掌握应用数学的基本知识和基本的运算方法。为进一步学习后继课程和现代科学技术打下数学基础和数学素质。为适合企业技术发展的需要，还要具有较强的自我更新、自我提高的能力，具有一定的“ 后劲 ” 。

	教学内容的选择贯彻了少而精的原则，坚持“以应用为目的，以必须、够用为度”。降低了理论难度，也不追求过分复
杂的运算和变换。加强了实际应用较多的基础知识和基本方法，注重基本运算的训练。

	通过本课程的学习，进一步提高学生的文化素养，使学生具有正确、熟练的基本运算能力，一定的逻辑思维能力、抽象
思维能力，严谨的科学态度。从而逐步提高运用数学方法分析问题和解决实际问题的能力，有能力根据生活、工作中的实际问题所提供的条件，进行分析和判断，建立相应的数学模型来解决问题。通过通数学教学培养学生良好的个性品质、辨证唯物主义观点和爱国主义思想。

三、课程各模块的内容及要求

第一模块：函数、极限、连续

（一）教学内容

	直角坐标系，曲面方程，空间曲线，一元、二元函数的概念。基本初等函数及其图形，复合函数、初等函数。极限的概
念，极限的运算，两个重要极限，无穷小与无穷大，函数的连续性。数学实验介绍，用数学软件求函数的极限。

（二）教学要求

	正确理解一元、二函数的概念、基本初等函数、复合函数和初等函数的概念。理解分段函数的概念。熟悉基本初等函数
的图象和性质。

	理解数列、函数极限的思想和描述性定义，二元函数的极限概念。掌握极限的运算法则，掌握两个重要的极限求有关
的极限。能较熟练地求函数的极限。

理解无穷小和无穷大的概念和性质，了解无穷小的比较法，会用等价无穷小求极限。

理解函数连续的概念，了解连续函数的性质，了解在闭区间上的连续函数的性质，了解间断点的分类。

了解数学实验，会用数学软件求函数的极限。

（三）教学重点与难点

重点：复合函数，极限的概念，极限的运算，两个重要极限，无穷大与无穷小。

难点：极限的概念，两个重要极限，函数的连续性。

第二模块章：函数的微分学

（一）教学内容

	导数、微分的概念，基本初等函数求导公式，导数、微的基本公式，导数、微分的四则运算法则，复合函数的求
导法则，导数的几何意义，偏导数的概念与运算，多元函数的全微分，隐函数微分法，参数方程微分法，高阶导数。用数学软件求函数的导数、偏导数。

（二）教学要求

理解导数、微分的概念，理解导数与微分的关系、几何意义，了解函数的可导性与连续性的关系。

	掌握导数、微分的法则和基本初等函数的导数公式以及微分公式，掌握导数、微分的运算法则，掌握隐函数的微分法和
参数方程确定的函数的微分法。

理解偏导数的概念，会求多元函数的偏导数，了解高阶偏导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

会用数学软件求各种类型的函数（显函数、隐函数、参数方程确定的函数、多元函数等的导数与偏导数）。

（三）教学重点与难点

重点：导数的概念，微分的概念，导数、微分的四则运算法则，复合函数的微分法，导数的几何意义。

难点：导数的概念，微分的概念，复合函数的微分法，隐函数的微分法。

第三模块：一元函数的积分学

（一）教学内容

	原函数与不定积分的概念和性质，第一类换元积分法，第二类换元积分，分部积分法。定积分的定义和性质，微积分基
本积分公式，定积分换元积分法和分部积分法，广义积分。用数学软件求函数的不定积分、定积分。

（二）教学要求

	理解原函数和不定积分的概念，了解不定积分的几何意义，掌握不定积分的基本性质和运算法则。掌握求不定积分的基
本方法（直接法，换元积分法，分部积分法），会求函数的不定积分。

	理解定积分的概念和性质。了解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿—莱布尼兹（ Newton —Leib
niz ）公式。掌握定积分的换元法和分部积分法。了解广义积分的概念，会计算简单广义积分。

会用数学软件求函数的不定积分、定积分。

（三）教学重点与难点

重点：不定积分、定积分的概念，不定积分、定积分的基本性质和运算法则，不定积分的基本方法（直接法，换元积分法，分部积分法）。定积分的几何意义，概念和性质，牛顿—莱布尼兹（ Newton — Leibniz ）公式。不定积分、定积分的运算。

难点：不定积分的换元积分法，分部积分法。定积分的概念，变上限的积分作为其上限的函数及性质，广义积分。

第四模块：函数的微、积分学的应用

（一）教学内容

	微分中值定理，罗必达法则。函数增减性的判断，函数的无条件极值与条件极值，数学建模简介，函数的最值及其应用
。曲线的凹凸性及拐点，函数曲线的描绘。曲线的曲率。
	定积分的微元法，平面图形的面积，定积分在物理中的应用（变力作功、液体的压力），函数在一个区间上的平均值。
	用数学软件求函数的极值、最值，绘制函数的图形。

（二）教学要求

知道微分中值定理的条件和结论。会用罗必达法则求未定式

的极限，了解其他未定式极限的求法。掌握函

数的单调性的判别方法，会求函数的单调区间。理解函数的极值概念，掌握极值的必要条件和充分条件，会求函数的极值，会求函数在闭区间上的最值。了解数学建模的意义、建模的过程与方法步骤。会求解简单的最大值和最小值的应用问题。了解函数曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。知道微分法作函数图象的步骤（包括水平、铅直渐近线）。理解曲线曲率的概念，会进行曲线曲率的相关计算。

	掌握定积分微元法，会用微元法求平面图形的面积，会用微元法计算变力做功和液体内的压力、引力等物理量的方法。
会求函数在一个区间上的平均值。

会用数学软件求函数的极值、最值，绘制函数的图形。

（二）教学重点与难点

重点：函数的单调性与极值，函数的最值，曲线的曲率。定积分的微元法，平面图形的面积。

难点：函数极值的概念与求法。数学建模，函数最值的应用问题。定积分的微元法及应用，旋转体的体积，平面曲线的弧长。

第五模块：微分方程

（一）教学内容

	微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程，微分方程的应用。
	用数学软件求解代数方程、微分方程。

（二）教学要求

	理解微分方程的概念，了解微分方程的阶、通解、初始条件及特解的概念，会用分离变量法求解微分方程，会求解一阶
线性微分方程，会通过建立微分方程来解决一些机械方面的应用问题。
	会用数学软件求解代数方程、微分方程。

（二）教学重点与难点

重点：微分方程的有关概念，分离变量法求解微分方程，一阶线性微分方程的求解，微分方程在机械方面的应用。

难点：分离变量法求解微分方程，建立微分方程来解决实际的应用问题。

第六模块：级数

（一）教学内容

	数项级数的概念和性质，正向级数的审敛法，任意项级数。幂级数，函数的幂级数展开。
	用数学软件判别级数的收敛性、求级数的和，将函数展开为幂级数。

（二）教学要求

	理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。掌握等比级数和 p- 级数的收敛性
。掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法。掌握交错级数的莱布尼茨审敛法，理解绝对收敛与条件收敛的概念。

	了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，理解幂级数在其收敛区
间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。会利用麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数，会利用幂级数的性质求和。

会用数学软件判别级数的收敛性、求级数的和，将函数展开为幂级数。

（三）教学重点与难点

重点：数项级数的收敛性概念，正项级数的比较、比值审敛法，交错级数的莱布尼茨审敛法，任意项级数的绝对收敛与条件收敛。幂级数的收敛半径与收敛区间，函数的幂级数展开。

难点：正项级数、任意项级数的审敛法，幂级数的收敛域，函数的幂级数展开。

第七模块 线性代数基础模块

（一）教学内容

	行列式的概念、性质和计算，克莱姆法则，矩阵及运算，逆矩阵，矩阵的秩及初等变换，一般线性方程组的求解。用数
学软件进行行列式、矩阵的的运算，求解线性方程组。

（二）教学要求

理解行列式、矩阵的有关概念，理解行列式的性质，掌握二阶、三阶行列式的计算。会用克莱姆法则求解线性方程组。

	会进行矩阵的和、差、积运算。理解矩阵的逆矩阵的概念，会求矩阵的逆矩阵。会进行矩阵的初等变换，掌握用矩阵的
初等变换法求解一般的线性方程组。

用数学软件进行行列式、矩阵的的运算，求解线性方程组。

（三）教学重点与难点

重点：矩阵的运算，求矩阵的逆矩阵，求解线性方程组。

难点：矩阵的乘积，逆矩阵，矩阵的初等变换，线性方程组。

第八模块概率与数理统计基础模块

（一）教学内容

	概率的定义与计算，概率的加法公式，条件概率与乘法公式。随机变量及分布，随机变量的数字特征。统计量及分布，
参数估计（点估计、区间估计），假设检验，线性回归分析。用数学运算软件求随机变量的分布、数字特征，求样本均值、方差，进行参数估计，假设检验，回归分析。

（二）教学要求

	理解概率的定义、性质，掌握概率的计算，掌握概率的加法定理，理解条件概率，掌握概率的乘法公式。
	了解随机变量变量的概念、类型，理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量密度函数，了解随机变量的分布函数
。了解几种常见的分布，掌握正态分布。掌握随机变量的数学期望和方差。
	理解总体和样本的有关概念，了解几种常见统计量的分布。会进行总体的均值、方差的点估计与区间估计，会进行假设
检验。会进行线性回归分析。
	会用数学运算软件求随机变量的分布、数字特征，求样本均值、方差，进行参数估计，假设检验，求回归方程和相关性

分析。

（三）教学重点与难点

重点：概率的计算，随机变量的分布列、数字特征，正态分布，区间估计，假设检验，线性回归分析。

难点：条件概率，乘法公式，随机变量的分布，参数估计，假设检验，回归分析。

四、课时分配

序号	模块	内容	必上学时	选上学时	小计
1	第一模块	函数、极限、连续	20	0	20
2	第二模块	函数的微分学	18	0	18
3	第三模块	一元函数的积分学	20	2	20
4	第四模块	函数的微、积分学的应用	18	4	28
5	第五模块	微分方程	8	0	14
6	第六模块	级数基础	10	4	14
7	第七模块	线性代数基础	14	0	20
8	第八模块	概率与数理统计基础模块	20	0	20
合计			128	10	140
总计			128 —— 138

五、课程考核

	《应用数学》课程分两学期开设，第一学期为考试课，第二学期大多数专业为考查课。第一学期的考试课，以平时成绩
占 30% ，期末考试成绩占 70% 。包括平时作业、课堂出勤状况、听课状态、课堂回答问题、数学实验操作等方面来评定。期末考试是全院统考，实行教考分离，凡是担任《应用数学》课程的老师在考试前都不能接触考试题，考试后按流水作业法统一阅卷。

	第二学期为考查课，平时成绩仍占 30% ，平时考查的范围与第一学期基本一致。测验占 70% ，测验包括一至两次知识
内容测验，另外还包括在计算机上利用数学软件进行数学运算、绘图、数据分析的操作，还包括完成教师布置的小论文的情况来评定成绩。

六、说明：

1 、本大纲适用于工科非电气类各专业，如机械类、冶金类、信息类各专业。

2 、可根据实际情况，对教材内容进行适当的选取，一部分内容可作为选学内容。

3 、在教学中，应降低抽象理论的难度，重视基本概念和基本运算，重视各知识点的基本方法的教学，注重培养运算能力和应用数学方法解决基本问题的能力。尽量做到理论联系实际，深入浅出，举一反三。不要随意拔高理论难度以及计算的难度。